Numeri complessi

(Emilia-Romagna, classe 47, VII ciclo)

Nel piano di Gauss - Argand, le soluzioni di z·(z-4)·(z2-4z+4+p2)=0 formano:
A) un rettangolo
B) un trapezio rettangolo
C) un rombo di area 4p
D) un quadrato avente due vertici sull'asse immaginario
E) nessuna delle risposte precedenti

Risposta ufficiale: C.

Risposta esatta: E, perché la C vale solo se p è reale, cosa non specificata nel testo.

Le soluzioni dell'equazione data sono z=0, z=4, z=2±√(-p2)=2±ip.
Quindi, sul piano di Gauss ci sono quattro punti, di cui due di coordinate O=(0,0) e P=(4,0) e due che possono essere complessi, reali o immaginari a seconda del valore di p. In particolare:
- se p è reale, i due punti hanno coordinate (2,±ip) e tutti quattro descrivono un rombo di area 1/2·4·2p=4p;
- se p è immaginario, i punti sono tutti reali, quindi allineati sull'asse delle x;
- se p è complesso con Re(p) e Im(p) diverse da 0, i punti formano un parallelogramma con una diagonale il segmento OP, e non un rombo.

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