Algebra

(Emilia-Romagna, classe 47, V ciclo)

a1, a2, a3 sono elementi del gruppo G(⊗). L'equazione a1 ⊗ x ⊗ a2 = a3 ha come soluzione

A) a1-1 ⊗ a3 ⊗ a2-2
B) a2-1 ⊗ a3 ⊗ a1-2
C) a1-1 ⊗ a2-2 ⊗ a3
D) a2-1 ⊗ a1-2 ⊗ a3
E) nessuna delle altre risposte è esatta

Risposta ufficiale: A.

Risposta esatta: E, oppure la A se si considera a2-2 un errore di stampa.

G è un gruppo, quindi per definizione vale la proprietà associativa ed esistono, e sono unici, gli inversi dei suoi elementi, mentre non è detto che valga la proprietà commutativa. Quindi:

a1-1 ⊗ a1 ⊗ x ⊗ a2 = a1-1 ⊗ a3
1 ⊗ x ⊗ a2 = a1-1 ⊗ a3
x ⊗ a2 = a1-1 ⊗ a3
x ⊗ a2 ⊗ a2-1 = a1-1 ⊗ a3 ⊗ a2-1
x ⊗ 1 = a1-1 ⊗ a3 ⊗ a2-1
x = a1-1 ⊗ a3 ⊗ a2-1
dove 1 è l'elemento neutro per l'operazione ⊗ e a-1 è l'inverso di a rispetto a ⊗.

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