Integrale indefinito e costante additiva


Il problema

Quando si introducono gli integrali indefiniti e le relative tecniche di calcolo, si insiste sempre molto sul fatto che l'integrale non è una primitiva, ma l'insieme di tutte le primitive della funzione integranda. Infatti, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, esistono infinite primitive della stessa funzione. Allora non si può definire un operatore inverso dell'operatore di derivazione, ma la sua relazione inversa (detta integrazione), che associa a una funzione $f$ tutte e sole le sue primitive. L'immagine di una funzione $f$ attraverso l'integrazione si chiama integrale indefinito di $f$ e si rappresenta col simbolo:

\begin{displaymath} \int f(x)dx=\left\{ F\in\mathbb{R}^{D}\vert F^{\prime}=f\right\} \end{displaymath}

dove $D$ è il dominio della funzione integranda $f$.

Nel calcolo degli integrali, questo si traduce solitamente nella famigerata costante c, o k, da aggiungere alla primitiva trovata. Famigerata perché gli studenti se la dimenticano sempre, e perché la questione non si esaurisce nella sola costante additiva, ma è più complessa.

Quello che viene correttamente spiegato, ma che nella pratica di calcolo viene ignorato, è che se $f$ è definita su un intervallo, per il terzo corollario del teorema di Lagrange tutte le sue primitive differiscono per una funzione costante, quindi trovata una primitiva $F_{0}$, la famiglia ${\left\{ F_{0}+\underline{k}\right\} }$ definisce tutte e sole le primitive di $f$. Qui con $\underline{k}$ non si intende ovviamente un numero ma una funzione costante definita sullo stesso dominio di $f$. Ma in generale, definendo una funzione solo attraverso la sua espressione $f(x)$, si intende che il dominio è il suo insieme di esistenza, quindi se non si specifica una restrizione su un intervallo, in generale l'insieme delle primitive contiene funzioni che non differiscono solo per una costante, e scrivere $\int f(x)dx=\left\{ F_{0}+\underline{k}\right\} $ è errato. Ad esempio, la funzione $f(x)=\frac{1}{x}$ ha tra le primitive la funzione che associa alle $x$ negative $ln(-x)+5$ e alle $x$ positive $ln(x)+3$, che non può essere rappresentata dall'espressione $ln\vert x\vert+k$, che si indica abitualmente come soluzione di $\int\frac{1}{x}dx$.

Bisogna riconoscere che il calcolo dell'integrale indefinito è finalizzato, almeno negli esercizi proposti nella scuola secondaria di secondo grado, al calcolo degli integrali definiti, per i quali il risultato non cambia se la funzione integranda è intesa definita su tutto l'insieme di esistenza o ristretta a un intervallo che contiene l'intervallo di integrazione, perché quello che serve è trovare una primitiva.

Allora le strade sono due: o si definisce l'integrale indefinito solo per funzioni definite su intervallo, per salvare la scrittura tradizionale col "$+k$", oppure si usa una scrittura del tipo $\int f(x)dx=\left\{ F(x)\right\} $, cioè si trova una primitiva, che diventa il rappresentante della classe di equivalenza che contiene tutte le primitive della funzione integranda. La prima è poco convincente perché limita un problema più generale, che può essere definito autonomamente (la ricerca di tutte e sole le primitive di funzioni reali di variabile reale, con dominio qualsiasi), solo per salvare un'abitudine di scrittura e con la scusa che il problema così limitato è sufficiente per le applicazioni. La seconda può appesantire la notazione, rischiando di ridursi alla sola espressione della primitiva, cioè a dimenticarsi che la soluzione dell'integrale non è unica. Inoltre non è coerente con la notazione usata dai libri di testo, e questo potrebbe confondere gli studenti.

I libri di testo

In ogni caso, nessuna delle due strade è seguita in modo coerente dai libri di testo, dove in generale si usa la notazione abituale $\int f(x)dx=F(x)+c$, tralasciando di definire l'integrale come insieme di funzioni (limitandosi a un'idea intuitiva di processo che individua le primitive di una funzione) o dando definizioni errate (di operatore inverso della derivata); solo in pochi casi si chiariscono le convenzioni di scrittura o la scelta di restringere il problema alle funzioni definite su un intervallo. Si riportano alcuni esempi.

Ciolli-Michelassi1 definisce l'integrazione indefinita come operazione inversa della differenziazione, pur facendo notare che la primitiva non è unica. Non pone restrizioni sul dominio, ma discute l'esempio di $\int\frac{1}{x}dx$ e dice che, per adeguarsi alla scrittura abituale $\int\frac{1}{x}dx=ln\vert x\vert+c$, "l'uguaglianza deve essere intesa nel senso che la restrizione di una qualsiasi primitiva della funzione integranda a ciascuno degli intervalli del dominio differisce da $F(x)$ per una costante".

Lamberti-Mereu2 definisce l'integrale indefinito come "totalità delle primitive", e specifica che la scrittura abituale è una convenzione che sottintende un insieme di funzioni, cioè $\int f(x)dx=\left\{ F_{0}+c\right\} $. Enuncia correttamente il teorema per cui le primitive differiscono per una costante se definite su un intervallo, ma non limita l'integrale alle funzioni definite su un intervallo, usando scritture del tipo $\int\frac{1}{x}dx=ln\vert x\vert+c$ senza ulteriori commenti.

Zwirner3 definisce l'integrale indefinito come "totalità delle primitive", o "la più generale delle primitive", dopo aver definito le primitive solo di funzioni definite su un intervallo, deducendo che l'operazione di integrazione è l'operazione inversa della derivazione. Utilizza la scrittura usuale senza commenti.

Approccio simile in Dodero4, con l'aggravante che non specifica mai il dominio delle funzioni di cui parla, e definisce non l'integrazione, ma l'integrale indefinito come operatore inverso della derivata (quindi l'integrale di $x^{2}$, essendo la sua derivata $2x$, sarebbe $\frac{x}{2}$...), confondendo l'operazione con la sua immagine, oltre a non considerare che la derivazione non è invertibile.

Bagni5 definisce l'integrale di una funzione con dominio sottoinsieme di $\mathbb{R}$ qualsiasi, come l'insieme delle espressioni delle funzioni primitive, probabilmente per adeguarsi alla scrittura usuale, ma dicendo poi che l'integrale è un insieme di funzioni, scrivendo $\int f(x)dx=\left\{ F(x):F^{\prime}(x)=f(x)\right\} $, confondendo le funzioni con la loro espressione analitica. Si adegua poi alla scrittura abituale $\int f(x)dx=F(x)+c$ senza commenti sulla convenzione di scrittura, e scrive $\int\frac{1}{x}dx=ln\vert x\vert+c$, che risulta errato secondo le sue definizioni.


  1. M. Ciolli, L. Michelassi "Corso di Matematica", Prinicipato
  2. L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni "Corso di Matematica", ETAS
  3. G. Zwirner, L. Scaglianti "L'indagine Matematica", CEDAM
  4. N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi "Lineamenti di Matematica", Ghisetti e Corvi
  5. G. T. Bagni "Corso di Matematica", Zanichelli